數理科科  廖偲秀老師

         美國NBC電視台有個由蒙提‧霍爾（Monty Hall）所主持的節目叫做《一起做個買賣》（Let's make a deal）。在節目中，主持人讓來賓上台猜獎，獎品是一輛汽車。台上有三個門，汽車藏在其中一個門後。來賓隨便選一個門，選好之後，主持人暫不開門。由於三個門中，只有一個門的後面有汽車，其餘兩個門的後面是山羊，所以主持人就在來賓沒有選到的兩個門中，選一個有山羊的門打開。比方說，來賓選一號門，汽車也許在一號門之後，也許在二號或三號門之後；不管汽車在幾號門，主持人總是可以在二號門和三號門中選一個有山羊的門打開。打開之後，主持人就問來賓：「您要改變您的選擇嗎？」來賓可以堅持原來的選擇，也可以改選另一個門。以剛才的情形來說，來賓先選了一號門，一號門暫不打開；接著主持人打開了三號門（三號門後面是一隻山羊），此時，來賓有機會改選二號門，或是堅持原來所選擇的一號門。假如你是那位來賓，請問你要換？還是不要換？換與不換到底有什麼差別？

【解答】：

　　因為有三個門，所以每一個門後有汽車的機率皆為1/3。在此情境中，主持人事先就已經知道哪個門的後面有汽車，我們由下圖可知，二隻山羊和一輛汽車的排法共有三種，即情節1、2、3等三種情形，故每種情節發生的機率為1/3。假設來賓選定的是一號門的話，則有1/3的機率得到汽車，2/3的機率得到山羊。當情節1發生時，知道內情的主持人任意從2、3號門擇一打開，所以情節1分為1a、1b情況；不論其打開哪一個門，門後皆是山羊，此時若來賓要求換門，則得到的是山羊，因此情節1發生的機率為1/3。但是當情節2、3發生時，知道內情的主持人選擇打開沒有汽車的那一個門，後面一定是隻可愛的山羊，此時若來賓要求換門，便得到汽車，因此情節2、3發生的機率為 
。

        所以，如果主持人事先知道汽車在哪一個門後，則此時維持不換門可以得到汽車的機率為1/3，而換門可以得到汽車的機率為2/3。換句話說，只要一開始選到沒獎品的門，換門就一定會中獎；相反地，一開始就選到有獎品的門，那麼換門就銘謝惠顧了。因此，換門才是較好的抉擇。

        其實，這就是在機率論上相當著名的汽車-山羊問題(Car-Goat Problem)，又稱為蒙提霍爾問題(Monty Hall problem)或三門問題，雖然這個問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但卻十分違反直覺，因此又稱為蒙提霍爾悖論。

        蒙提霍爾問題在當時曾引起一陣熱烈的討論，一般人的想法大抵是，既然主持人打開的三號門是山羊，那麼表示汽車不是在一號門之後就是在二號門之後，選項變成了二選一，換與不換的機率都是二分之一，所以很多來賓都堅持原來的選擇─打死不換。於是，有位讀者向正在《Parade》雜誌主持「有問必答」(Ask Marilyn)專欄的瑪麗蓮．薩凡特(Marilyn vos Savant)提出了這個問題，瑪麗蓮的回答是，一定要換。因為換的話，猜中汽車的機率是2/3，堅持不換的話，猜中汽車的機率只有1/3。瑪麗蓮的想法很直接，她認為原來出現在一號門後汽車的機率是1/3，出現在二號和三號門後的機率是2/3。當主持人打開三號門的時候，這2/3的機率就自然而然集中到二號門，因此來賓非換不可。如果不換，那表示來賓猜中的機率仍然是剛開始的1/3。當時，瑪麗蓮的回答引起了軒然大波，成千的讀者（包括統計學教授）斷言這是個錯誤，就連天才數學家保羅．艾狄胥(Paul Erdos)也曾栽過觔斗，法桑尼有一次和艾狄胥一同造訪加州聖羅沙，法桑尼想測試當時已是機率大王的艾狄胥，對於機率的直覺。不過，令法桑尼訝異的是艾狄胥竟堅持換與不換的機率都是1/2，甚至對法桑尼的解釋甚感不解而憤怒，直到法桑尼利用電腦模擬，艾狄胥才信服。此外，據說艾狄胥臨死時仍在思考蒙提霍爾問題，但答案卻真的是─你應該改變選擇。

◎延伸問題：如果主持人不知道哪個門後面有汽車，那麼換與不換又會有怎樣的結果呢？

【解答】：

　　假設觀眾選定的是一號門，主持人則自二號、三號門任意挑一個門打開。如下圖所示，每一情節發生的機率皆為1/6。